對經(jīng)濟研究中數(shù)學方法運用的思辨

　　【摘要】如何認識經(jīng)濟研究中數(shù)學方法的運用在學術(shù)界歷來爭議很大。從歷史的角度論及經(jīng)濟乃至經(jīng)濟學與數(shù)學形影形隨的密切關(guān)系，就可以認定數(shù)學能為經(jīng)濟學提供特有的、嚴密的方法。但如何在經(jīng)濟研究中運用數(shù)學方法方面，卻存在著諸多問題，對此必須進行深刻的分析，才能正確提出在經(jīng)濟研究中構(gòu)建數(shù)學模型的要求、步驟及應(yīng)注意的問題。

　　【關(guān)鍵詞】經(jīng)濟研究/數(shù)學方法/歷史/數(shù)學模型

　　如何認識經(jīng)濟研究中數(shù)學方法的運用在學術(shù)界歷來爭議很大。自從1969年首屆諾貝爾經(jīng)濟學獎授予將數(shù)學和統(tǒng)計方法應(yīng)用于經(jīng)濟分析的荷蘭經(jīng)濟學家丁伯根以后，在世界范圍內(nèi)出現(xiàn)了一股經(jīng)濟研究數(shù)學化的熱潮。經(jīng)濟研究中這種傾向性的風氣，對我國經(jīng)濟理論界產(chǎn)生了很大影響，一些經(jīng)濟理論文章出現(xiàn)了大段大段數(shù)學公式的推導(dǎo)，個別學術(shù)性經(jīng)濟類雜志(并非是計量經(jīng)濟學或統(tǒng)計學雜志)此類文章甚至占了1/2到2/3，對此不少經(jīng)濟學家產(chǎn)生了疑惑：難道這就是經(jīng)濟理論研究的方向，這類研究可以解決或闡明我國經(jīng)濟體制改革中的一些現(xiàn)實問題嗎?

　　一、經(jīng)濟研究離不開數(shù)學

　　一部科學史揭示了這樣一個事實：凡屬“科學”范疇的各個學科，都是在人類社會活動實踐的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。學科的劃分和不同學科各自特征的歸納都是“人為”因素作用的結(jié)果，就內(nèi)在本質(zhì)而言，各學科之間相互作用、相互影響、相互滲透的關(guān)聯(lián)性極為明顯，不惟自然科學與社會科學各自內(nèi)部的學科，就是兩類學科之間也是如此。

　　經(jīng)濟學是研究社會資源配置及社會經(jīng)濟關(guān)系的一門科學。基于資源存量與流量的可度量性，為了使資源配置更加公平、效率更高，經(jīng)濟學有必要借助于數(shù)學這一嚴密、精確、實用的思維工具�；�于在資源配置過程中所形成的經(jīng)濟關(guān)系涉及到經(jīng)濟制度、社會心理、價值觀念等難以量化的因素，經(jīng)濟學作為一種以思辨定性分析為主的實證性科學，不可能以數(shù)學作為經(jīng)濟研究中基本的或者說萬能的工具。

　　關(guān)于數(shù)學方法在經(jīng)濟學中的作用問題，在理論界歷來爭議就很大，這種論爭至少已有100年之久。從“反對數(shù)學的蒙昧主義”，到斷言沒有數(shù)學就沒有任何科學，見仁見智，意見可謂大相徑庭。

　　作為實際經(jīng)濟活動的理論概括和抽象的經(jīng)濟學，從其萌發(fā)到形成始終沒有離開過數(shù)學。一方面，數(shù)的概念是在漫長的生產(chǎn)活動過程中產(chǎn)生的，另一方面生產(chǎn)活動也總是需要經(jīng)濟類的不同學科，諸如人口學、市場學、勞動工資學、價格學、財政學、金融學、會計學等等無一不與計數(shù)、計量、計算有關(guān)。離開數(shù)的概念，離開算的方法，可以說就不會有這些學科。

　　經(jīng)濟活動的實踐決定了經(jīng)濟理論的研究也離不開數(shù)量，并且在經(jīng)濟學中運用數(shù)學的程度與數(shù)學本身的發(fā)展密切相關(guān)�？v觀數(shù)學的歷史，其可分為有質(zhì)的區(qū)別的四個基本階段。第一階段，計數(shù)、算術(shù)時期(終止于紀元前5世紀);第二階段，初等數(shù)學即常量數(shù)學時期(終止于17世紀);第三階段，變量數(shù)學時期(終止于19世紀);第四階段，現(xiàn)代數(shù)學時期�，F(xiàn)代數(shù)學時期突出的特點是，多種多樣的數(shù)學分支不斷成長，數(shù)學的對象和應(yīng)用范圍大大擴展，并且以更高的理論抽象和概括揭示出了數(shù)學中最一般的統(tǒng)一的概念。

　　盡管數(shù)學的概念和結(jié)論極為抽象，但是它們都是從現(xiàn)實中來的，并且能在其他學科中、在社會生活實踐中得以廣泛應(yīng)用，這也許是數(shù)學不僅具有無限的生命力且對于各個學科都有巨大影響和吸引力的根由所在。正如恩格斯在《反杜林論》中所說，應(yīng)用數(shù)學來研究現(xiàn)實世界的這種可能性的根源在于：數(shù)學從這個世界本身提取出來，并且僅僅表現(xiàn)這個世界所固有的關(guān)系的形成部分，因此才能夠一般地加以應(yīng)用。

　　經(jīng)濟學對數(shù)學的應(yīng)用范圍伴隨著數(shù)學的發(fā)展在不斷擴大。在19世紀之前，經(jīng)濟學主要運用的是初等數(shù)學。從威廉·配第的《賦稅論》(1662)、《政治算術(shù)》(1676)，到魁奈的《經(jīng)濟表》(1758)，都是利用數(shù)字、圖表和簡單的計算去描述分析國民財富的狀況和變化。從19世紀起，經(jīng)濟學的研究引入了變量和函數(shù)的概念，數(shù)學方法的運用更為普遍。其中，考納德的《財富理論的數(shù)學原理研究》(1838)是一本有意識地運用數(shù)學公式來說明經(jīng)濟問題的著作。此后，屠能的以實際數(shù)量為根據(jù)的經(jīng)驗公式(1850)、瓦爾拉的均衡交易理論(1874)、哈羅德的經(jīng)濟增長模型(1948)、丁伯根的包括48個方程式的大型經(jīng)濟增長模型(1939)、劉易斯的“二元經(jīng)濟”模型(1954)、托賓的中值—變量模型(1958)以及20世紀70年代至90年代索洛和羅曼的經(jīng)濟增長模型等等，一大批運用數(shù)學方法研究經(jīng)濟問題的論著紛紛問世。這些著作的共同特點是既使用了一般經(jīng)濟概念和傳統(tǒng)經(jīng)濟方法，同時又使用了從最簡單的數(shù)學符號到最新的數(shù)學方法。

　　從經(jīng)濟學與數(shù)學形影相隨的發(fā)展歷程可以獲知，數(shù)學能為經(jīng)濟學提供特有的、嚴密的分析方法，它同定性分析中常用的邏輯學一樣，是一種認識世界的工具。但是數(shù)學的應(yīng)用只有與具體現(xiàn)象的深刻理論和嚴格的“質(zhì)”的規(guī)定性相結(jié)合才有意義，否則經(jīng)濟研究會陷入毫無實在內(nèi)容的公式與數(shù)學的游戲之中。

　　二、經(jīng)濟研究中運用數(shù)學方法出現(xiàn)的偏差

　　現(xiàn)在關(guān)于數(shù)學在經(jīng)濟研究中運用問題的爭論焦點，不是經(jīng)濟學要不要運用數(shù)學方法，而是如何運用數(shù)學方法問題。對于前者，經(jīng)濟活動中對數(shù)學廣泛應(yīng)用的實踐和經(jīng)濟理論運用數(shù)學方法研究成果的不斷推出已經(jīng)作出了肯定回答，而對于后者卻眾說紛紜，莫衷一是。由此使得經(jīng)濟學在運用數(shù)學方法時出現(xiàn)了嚴重偏差，影響了研究效果，發(fā)展下去有可能使我國經(jīng)濟研究步入歧途。

　　經(jīng)濟研究中應(yīng)用數(shù)學方法存在的主要問題有：

　　1.運用范圍過泛過濫。數(shù)學運用的界域是可以量化的事物，經(jīng)濟研究的視野是人類一切經(jīng)濟活動和社會關(guān)系。并非所有的經(jīng)濟活動和經(jīng)濟關(guān)系都是可以量化的，尤其是社會經(jīng)濟關(guān)系，它受到制度的、道德的、文化的、歷史的諸多社會因素的影響，這些因素幾乎大部分是無法量化的。如若硬是將不可量化的因素用數(shù)學公式將它們的關(guān)系表達出來，似乎怎么說都有道理，因為它們根本不存在運算關(guān)系，也無法運用數(shù)量的計算去考證對錯。盡管數(shù)學也是反映人的思維的一種語言，但并非所有的科學都能轉(zhuǎn)化為數(shù)學的語言。像物理學、化學、生物學這些與數(shù)學緊密關(guān)聯(lián)的學科也是如此，有些問題即使將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學關(guān)系式，也不一定具有可解性。而以人類社會活動為研究對象的社會科學對數(shù)學的運用所受的限制就更多了，試圖將經(jīng)濟學非人性化，以至將經(jīng)濟活動中的人“機械化”，將人的活動程序化、公式化，這無疑是經(jīng)濟研究的一種自我毀滅。

　　不看對象、不問條件、一門心思運用數(shù)學方法去求解經(jīng)濟問題，很容易使經(jīng)濟學沉湎于方法論的探尋，拘泥于微觀經(jīng)濟體的研究，而對于涉及宏觀經(jīng)濟體制變革、機制設(shè)計以及社會關(guān)系調(diào)整等全局性的問題有所輕視和忽略。正如理查德·布隆克所說，現(xiàn)代經(jīng)濟學越來越熱衷于復(fù)雜的數(shù)學計算，沾沾自喜于美妙的數(shù)學模型，玩弄神秘。其結(jié)果是導(dǎo)致經(jīng)濟學逐步地與每日生活的豐富性、復(fù)雜性和非理性相脫離。近幾年的經(jīng)濟研究動態(tài)已顯露出這方面的一些令人憂慮的跡象。

　　2.對數(shù)學模型約束條件的取舍過于隨意。幾乎所有的理論都是在設(shè)定若干前提和假設(shè)條件的基礎(chǔ)上確立的。如會計學中會計主體、持續(xù)經(jīng)營、會計期間和貨幣計量等四個會計假定，西方經(jīng)濟學中“經(jīng)濟人”及“完全市場化”的假定等。數(shù)學方法邏輯嚴密性和計算準確性的性質(zhì)決定了任何一個數(shù)學模型都要受到若干條件的約束，只有假定這些條件滿足，該數(shù)學模型才能成立。方程越復(fù)雜所受的約束條件越多�，F(xiàn)在一些經(jīng)濟學家建立數(shù)學模型對于約束條件，一是根本不去考慮，二是過于簡化，三是約束條件的確定十分隨意，僅從模型本身的需要出發(fā)而不考慮是否符合客觀實際要求。如此建立起來的數(shù)學模型起不到對經(jīng)濟現(xiàn)象量化模擬和對經(jīng)濟理論抽象概括的作用，相反，容易引起理論的混亂和實際操作的重大失誤。

　　3.數(shù)學方法應(yīng)用的目的不很明確。數(shù)學也是一種語言，對某些現(xiàn)象之所以要用數(shù)學而不用其他形式的語言(如文字、圖畫、音樂、形體等)去描述，就是因為它能夠比其他形式的語言更簡練、更準確地將該現(xiàn)象表示出來。如果達不到簡練準確的效果，就應(yīng)該采用其他的語言形式。有些經(jīng)濟學家對這一點不大明白，將本來可以用淺顯易懂的語言說明的問題，故意用多數(shù)人看不懂的數(shù)學公式表達出來，而得出的結(jié)論卻是人人通曉的一般經(jīng)濟學常識。這樣做的目的似乎只能解釋為：可以掩飾經(jīng)濟理論貧乏之尷尬，可以省卻向客觀實際調(diào)查之勞苦，可以以淵博的數(shù)學知識作為傲視經(jīng)濟界同仁之資本，可以實踐“所謂理論就是將簡明通淺的事理以晦澀詰屈的語言描述出來”的治學之道。這方面西方經(jīng)濟學界也有許多深刻的教訓(xùn)。例如20世紀90年代，一些經(jīng)濟學家試圖用隨機微分和非參數(shù)統(tǒng)計方法研究金融問題，但至今成效甚微，甚至于應(yīng)用方面出現(xiàn)了致命的偏差。

　　4. 為刻意建立模型，對來自實際的數(shù)據(jù)采取唯我所取的實用主義態(tài)度。本來構(gòu)建數(shù)學模型要對所研究的現(xiàn)象進行細微周密的調(diào)查，盡可能獲取詳盡的數(shù)字資料，并應(yīng)做一番去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的深入分析，以期找出主要因素及各因素的數(shù)量關(guān)系，從而建立起數(shù)學表達式�？涩F(xiàn)在一些經(jīng)濟學家卻反其道而行之，將構(gòu)建數(shù)學模型的順序顛倒了過來。采取先確定數(shù)學表達式，然后再找能夠支持數(shù)學關(guān)系式成立的數(shù)據(jù)，從而驗證自己所做出的理論概括的正確性。這種以主觀意識為導(dǎo)向的研究方法是不可取的，說嚴重一點，它帶有較強的唯心主義色彩，其實它與電腦算命有異曲同工之妙，盡管它披上了數(shù)學這層“科學”的外衣。經(jīng)濟學本來應(yīng)是一門從實踐到理論再到實踐的不斷用實踐驗證和充實的實證性科學，若反其道而行之，難免會使經(jīng)濟研究步入不問民眾疾苦，遠離社會經(jīng)濟生活實際的歧途。

　　5.用數(shù)學模型對經(jīng)濟進行預(yù)測分析的效果不盡如人意。僅以對股票價格預(yù)測為例就足以說明這一點。股市可以說是信息資料最為充分、最為準確，也最有條件根據(jù)各種相關(guān)資料來擬合數(shù)學模型的實驗場。人們總是千方百計試圖建立各種數(shù)學模型去預(yù)測股價走勢�，F(xiàn)在市場上有錢龍、勝龍、勝者之星、指南針等十幾種股票行情分析軟件，但是無論用哪一種軟件去預(yù)測分析股票走勢，似乎勝算的幾率也只能維持在50%左右。無法準確預(yù)測未來走勢也正是股市具有吸引投資和投機的魅力所在。近來一些從事理論物理研究的人認為股票價格也適用于量子物理中的“海森堡測不準原理”。整個宏觀經(jīng)濟的運行以及諸如物價、失業(yè)、經(jīng)濟增長等經(jīng)濟問題要比股市復(fù)雜得多，力圖用一兩個數(shù)學模型去準確分析預(yù)測其動態(tài)變化是不現(xiàn)實的，否則會使經(jīng)濟學陷入尷尬的“混沌”境界。最著名的“蝴蝶效應(yīng)”的實例就說明了數(shù)學模型于實際應(yīng)用的局限性。麻省理工學院氣象學家洛侖茨曾用計算機求解模擬地球大氣的13個方程式，以預(yù)報天氣。為了提高預(yù)報的精度，他把一個小小的中間變量取出。然而，在他喝完一杯咖啡回來后，卻驚奇地發(fā)現(xiàn)：這一小小的變動已使得結(jié)果相差十萬八千里!計算機沒有毛病，他的改變也有道理，結(jié)果何以天上人間?洛侖茨冥思苦想，最后認定自己陷入了“混沌”現(xiàn)象：初始值的極端不穩(wěn)定性，導(dǎo)致最終結(jié)果的巨大差異。好比說，加勒比海一只微不足道的蝴蝶哪一天也許只是想調(diào)調(diào)情而振動了一下它那美麗的翅膀，結(jié)果幾個月后地球上竟出現(xiàn)一場威力無比、鋪天蓋地的龍卷風!混沌無所不在。宇宙是這樣，地球是這樣，經(jīng)濟現(xiàn)象也是這樣。人們所建立的數(shù)學模型只能展示某種現(xiàn)象總體的、大致的、趨向性的走勢。就連人的身高與體重這種高度相關(guān)的自然現(xiàn)象，世界各國的統(tǒng)計學家、生物學家所擬合的回歸方程也各不相同，何況對于以人的思維和人的行為為主要導(dǎo)向的社會經(jīng)濟現(xiàn)象呢?近200年來，經(jīng)濟學史上能夠經(jīng)得起實踐檢查、為人們普遍采用的數(shù)學模型多是那些較為簡便，易于應(yīng)用，且能描述事物總體趨勢的數(shù)學公式。如恩格爾系數(shù)、基尼系數(shù)、拉斯貝爾指數(shù)、派許指數(shù)、哈羅德-多馬經(jīng)濟增長模型、科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)、凱恩斯的消費函數(shù)、希克斯的IS-LM模型等。這類數(shù)學模型的數(shù)量與汗牛充棟的經(jīng)濟學論著相較實在少得可憐，難免使人不對經(jīng)濟研究中的應(yīng)用數(shù)學方法的成果感到失望。正如劉易斯在《經(jīng)濟增長理論》一書中所說，“大多數(shù)預(yù)測在方法上是不可行”的，“為了能預(yù)言將要發(fā)生的事，我們不能不了解所有的變量將怎樣變動，單憑個人的頭腦不可能建立可以預(yù)測未來的成萬個變量的方程體系。”

　　三、關(guān)于數(shù)學模型的構(gòu)建與運用

　　從諾貝爾經(jīng)濟學獎設(shè)立以來，截止到2000年已有46位經(jīng)濟學家分享了這項榮譽，其中有1/3獲獎?wù)叩难芯砍晒�與數(shù)學、計量經(jīng)濟學的應(yīng)用有關(guān)。諾貝爾獎的評獎機構(gòu)瑞典科學院對拓展經(jīng)濟學領(lǐng)域的研究給予了積極的支持，其倡導(dǎo)各學科之間研究成果的交叉和融合(如有的將經(jīng)濟學與法學結(jié)合，有的與科學編年史結(jié)合)，這些獲獎?wù)哒�是符合或者說迎合了評獎的判定標準。有鑒于此，我國經(jīng)濟學研究是否也應(yīng)與國際“接軌”?其實，諾貝爾經(jīng)濟學獎對各國經(jīng)濟研究的方向和范圍并不具有指導(dǎo)性意義，只能說其具有參考借鑒的價值。不僅是因為評獎的標準、尺度并不確定，更主要是因為經(jīng)濟學是一門實用性很強的科學，只有從各國的國情出發(fā)，才能使經(jīng)濟研究更有價值，使經(jīng)濟學更具有生命力。我認為，當前我國的經(jīng)濟應(yīng)在機制轉(zhuǎn)變、利益關(guān)系調(diào)整、經(jīng)濟體制改革如何與政治體制改革相結(jié)合等方面多做文章。至于采用什么方法，則應(yīng)十八般兵器，哪種適用就選用哪種。

　　經(jīng)濟研究中應(yīng)用數(shù)學方法還存在著諸多問題，只能說我們對于數(shù)學的真諦及其與經(jīng)濟現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系還了解得不夠深透，尚未從必然王國走進自由王國。這里僅就數(shù)學模型的建立談點自己的認識：

　　(一)數(shù)學抽象與數(shù)學模型

　　抽象性是數(shù)學的首要特征。數(shù)學以純粹的量的關(guān)系和形式作為自己的對象，它完全舍棄了具體現(xiàn)象的實際內(nèi)容而去研究一般的數(shù)量關(guān)系，它考慮的是抽象的共性，而不管它們對個別具體現(xiàn)象的應(yīng)用界限。抽象的絕對化是數(shù)學所特有的。相反，包括經(jīng)濟學在內(nèi)的其他科學感興趣的首先是自己所抽象的公式(數(shù)學模型)同某個完全確定的現(xiàn)象的對應(yīng)問題及應(yīng)用的約束條件。所以，經(jīng)濟學的數(shù)學運用首要的問題是適用性或說實踐性的問題，即能否用所建立的模型去概括某一經(jīng)濟現(xiàn)象或說明某一經(jīng)濟問題。為簡潔而又形象地對事物量化屬性和結(jié)構(gòu)特征進行深刻的描述，用字母、數(shù)學及其他數(shù)學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象及框圖等對客觀事物的數(shù)量特征及其內(nèi)在聯(lián)系的表達形式，都可稱為數(shù)學模型。運用數(shù)學模型可以研究變量之間的關(guān)系，探尋事物的變化規(guī)律，用可控變量得出必要的結(jié)果，從而概括出理論假說。

　　(二)構(gòu)建數(shù)學模型的要求和步驟

　　芝加哥經(jīng)濟學派的觀點是：數(shù)學模型應(yīng)該優(yōu)美，應(yīng)該簡單，但不能過于簡化。一般來說，構(gòu)建的數(shù)學模型總的要求是：(1)有足夠的精確度;(2)簡單實用;(3)依據(jù)充分;(4)盡量借鑒標準形式;(5)具有可控性，易于操作。

　　構(gòu)建數(shù)學模型的步驟：(1)根據(jù)研究的目的和任務(wù)對所要研究的現(xiàn)象進行全系統(tǒng)的周密調(diào)查，以獲取大量的數(shù)據(jù)資料，并對資料進行分組整理;(2)在一定的理論指導(dǎo)下，對數(shù)據(jù)進行觀察和分析，找出影響系統(tǒng)的主要因素，確定主要變量;(3)發(fā)現(xiàn)事物的共性和數(shù)量之間的相互關(guān)系，明確系統(tǒng)運行的約束條件;(4)規(guī)定符號、代碼，列出符合客觀實際數(shù)量關(guān)系的數(shù)學表達式;(5)對數(shù)學關(guān)系式進行簡化、合并，確立數(shù)學模型;(6)以實測值去檢驗?zāi)Ｐ偷目尚哦�，并對模型做出適當校正;(7)根據(jù)模型對現(xiàn)象狀態(tài)和變化規(guī)律的描述，提出相應(yīng)的理論假說。

　　(三)構(gòu)筑和運用數(shù)學模型應(yīng)注意的問題

　　1.只能對可以量化的事物進行數(shù)學分析和構(gòu)建數(shù)學模型，對不可量化的事物只能建造概念模型，而概念模型是無法進行數(shù)量分析的。西方經(jīng)濟學史上曾有人建立過“幸福微積分”和“快樂方程式”，那也只是有數(shù)學之名而無數(shù)學之實的概念模型。

　　2. 可以量化的事物必須有嚴格的質(zhì)的規(guī)定性以將一事物同其他事物區(qū)別開來，否則難以測定事物的數(shù)量。盡管經(jīng)濟模型是反映事物的數(shù)量關(guān)系的，但必須從定性認識開始，離開具體理論所界定的概念，無從對事物的數(shù)量進行研究。經(jīng)濟上的量是在一定質(zhì)的界定下的量，不是數(shù)學中的抽象的量。

　　3.涉及所要研究的可量化的事物是大量的，幾乎是不可數(shù)的，只能舍棄絕大部分事物，留存少量的主要的事物做研究。主要事物還是次要事物的判定與取舍十分關(guān)鍵。

　　4.即便對這些主要事物，也只能取其某一時空條件下的數(shù)量，因為經(jīng)濟問題和社會現(xiàn)象有許多是處于不穩(wěn)定狀態(tài)或臨界狀態(tài)的，所以據(jù)此擬合的數(shù)學模型必須要有嚴格的時空條件限制。

　　5.根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)建造的數(shù)學模型，只能算作一個“經(jīng)驗公式”，其只能對現(xiàn)象做出粗略大致的描述，據(jù)此公式計算出來的數(shù)值只能是個估計值。

　　6. 用所建造的數(shù)學模型去說明解釋處于動態(tài)中的經(jīng)濟現(xiàn)象，必須注意時空條件的變化，必須考慮不可量化因素的影響作用及在一定條件下次要因素轉(zhuǎn)變?yōu)橹饕�因素的可能性。尤其是政府決策部門在根據(jù)所建造的數(shù)學模型制定相應(yīng)政策、調(diào)整相應(yīng)經(jīng)濟運行機制之后，會引發(fā)眾多經(jīng)濟利益主體采取相應(yīng)對策，以至部分甚至完全改變原來的經(jīng)濟行為，由此會使經(jīng)濟運行結(jié)果與原來的模型所預(yù)期的結(jié)果發(fā)生較大的差距。

　　最后順便說一點，經(jīng)濟學家所選用的數(shù)學模型一般都是已被數(shù)學家從數(shù)學的推理上嚴格證明了的現(xiàn)成公式，如果一個經(jīng)濟學家報告說它從經(jīng)濟現(xiàn)象中采用類比推理的方法發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)學定理，且僅限于用數(shù)學模型將它表現(xiàn)出來，那么任何一個數(shù)學家都不會承認這個未被抽象證明了的定理的。

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　　[4] 鮑爾加爾斯基：《數(shù)學簡史》，知識出版社，1984。

　　[5] 李維錚等：《運籌學》，清華大學出版社，1982。

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