例析帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

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例析帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題
 帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是電磁場(chǎng)的綜合問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的顯著特點(diǎn)是粒子的運(yùn)動(dòng)情況和軌跡較為復(fù)雜、抽象、多變，因而這部分習(xí)題最能考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力。解決這類(lèi)問(wèn)題與解決力學(xué)題目方法類(lèi)似，不同之處是多了電場(chǎng)力和洛倫茲力，因此，帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題除了利用力學(xué)三大觀點(diǎn)（動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)、能量觀點(diǎn)、動(dòng)量觀點(diǎn)）來(lái)分析外，還要注意電場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子的作用特點(diǎn)，如電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)，洛倫茲力方向始終和運(yùn)動(dòng)速度方向垂直，永不做功等。
 例1  一個(gè)質(zhì)量為、帶電荷量為的帶正電小球和一個(gè)質(zhì)量也為不帶電的小球相距，放在絕緣光滑水平面上，當(dāng)加上如圖1所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，（，）帶電小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)與不帶電小球相碰，并粘在一起，合為一體，問(wèn)：
 （1）兩球碰后速度多大？
 （2）兩球碰后到兩球離開(kāi)水平面，還要前進(jìn)多遠(yuǎn)？（）
 解析  帶電小球在電場(chǎng)力作用下加速運(yùn)動(dòng)，與不帶電的小球碰撞兩球合為一體，碰撞前小球的速度可以用動(dòng)能定理求出，電場(chǎng)力的功等于小球動(dòng)能的增量；也可以利用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出。兩球碰撞過(guò)程雖然系統(tǒng)受電場(chǎng)力，但比起兩球碰撞的作用力小得多，碰撞時(shí)間又很短，可認(rèn)為動(dòng)量守恒，兩球碰撞后速度繼續(xù)增大，增大到某一數(shù)值洛倫茲力與重力平衡，兩球離開(kāi)水平面，應(yīng)該注意，碰撞后與碰撞前應(yīng)用動(dòng)能定理的研究對(duì)象不同。
 （1）兩球碰撞前由動(dòng)能定理：
 所以
 兩球碰撞動(dòng)量守恒：，
 （2）兩球離開(kāi)水平面時(shí)，對(duì)水平面無(wú)壓力，即洛倫茲力與重力平衡，，
 所以。
 碰后到兩球離開(kāi)水平面，由動(dòng)能定理：。
 。
 例2  如圖2所示，有一半徑為的圓柱繞豎直軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓柱體的左側(cè)有一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)。今有一質(zhì)量為帶正電的小物體貼在圓柱面上，為使物體沿圓柱面豎直方向以速度勻速下滑，需加一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且物體所受的洛倫茲力、重力及摩擦力在一個(gè)平面內(nèi)，此磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為多少？方向如何？物體與圓柱面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為多少？
 解析  電場(chǎng)力只對(duì)垂直于圓切面的壓力，對(duì)的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有直接影響。為使物體沿圓柱面豎直勻速下滑，在圓柱面垂直電場(chǎng)的平面內(nèi)，受重力、摩擦力和洛倫茲力作用而平衡。
 此過(guò)程中，物體卻隨圓柱一起以速度轉(zhuǎn)動(dòng)，又要相對(duì)圓柱以速度斜向下滑，豎直向下的運(yùn)動(dòng)速度是上述兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合速度，而洛倫茲力與合運(yùn)動(dòng)垂直，即沿水平方向；摩擦力與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，即斜向上，如圖3所示。
 因速度三角形與力的三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，且，得。
 方向沿水平且與圓柱轉(zhuǎn)向相反，又因，且。所以。
 說(shuō)明：解此題的關(guān)鍵是空間想象要清楚。一是將物體的空間受力轉(zhuǎn)化為垂直于電場(chǎng)沿圓柱切面的平面受力；另一個(gè)是對(duì)物體運(yùn)動(dòng)情況的想象，只有弄清物體相對(duì)圓柱的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向，才能確定摩擦力方向是斜向上而不是豎直向上，這是難度最大之處，而洛倫茲力永遠(yuǎn)和物體運(yùn)動(dòng)方向垂直，即沿水平方向。
 例3  如圖4所示，質(zhì)量為、電量為的帶正電粒子，以初速度垂直射入相互正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，從點(diǎn)離開(kāi)該區(qū)域的速率為，此時(shí)側(cè)移量為，下列說(shuō)法中正確的是（  ）
 A．在P點(diǎn)帶電粒子所受磁場(chǎng)力有可能比電場(chǎng)力大
 B．帶電粒子的加速度大小恒為
 C．帶電粒子到達(dá)P點(diǎn)的速度
 D．帶電粒子到達(dá)P點(diǎn)的速率
 解析  帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，受到的電場(chǎng)力豎直向上，受到磁場(chǎng)力豎直向下，由于這時(shí)＞，粒子向上偏轉(zhuǎn)且能從P點(diǎn)射出；但粒子在側(cè)移過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)其做正功，其速度不斷增大，亦隨之增大，故到達(dá)P點(diǎn)時(shí)有可能使＞，選項(xiàng)A正確。
 帶電粒子進(jìn)入該區(qū)域后，速度增大，且、通常亦不在同一直線(xiàn)上，加速度除進(jìn)入瞬間為外，其他各處均不為該值，選項(xiàng)B錯(cuò)。
 由于粒子在正交電、磁場(chǎng)中受洛倫茲力和電場(chǎng)力不相互平衡，做變加速運(yùn)動(dòng)，其軌跡既非圓弧，亦非拋物線(xiàn)，不能用勻變速運(yùn)動(dòng)有關(guān)干什么求解，可考慮用動(dòng)能定理求解，因?yàn)樵谝陨线^(guò)程中洛倫茲力對(duì)帶電粒子不做功，電場(chǎng)力對(duì)其做正功，則有
 ，所以，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
 答案：A、C。
 當(dāng)粒子所受電場(chǎng)力和洛倫茲力的合力不為零時(shí)，粒子做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，這時(shí)其軌道既非圓弧、亦非拋物線(xiàn)，屬變加速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，不能用勻變速運(yùn)動(dòng)或圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律解答有關(guān)問(wèn)題，可考慮用能量或動(dòng)量解答。
 例4  如圖5所示，兩塊水平放置的金屬板長(zhǎng)為，間距為，兩板間有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和圖示的脈動(dòng)電壓，當(dāng)時(shí)，質(zhì)量為，電量為的正粒子，以速度從兩板中央水平射入，不計(jì)重力，試分析：
 （1）粒子在兩板間如何運(yùn)動(dòng)？會(huì)不會(huì)碰到極板上？
 （2）粒子在兩板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少？
 解析  （1）~10-4s內(nèi)，粒子同時(shí)受到方向相反的電場(chǎng)力和洛倫茲力的作用，大小分別為 ；。
 因?yàn)�，所以粒子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的位移為。
 在10-4s~2×10-4s內(nèi)無(wú)電場(chǎng)，粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為
 。
 運(yùn)動(dòng)周期為 。
 所以，粒子不會(huì)打到極板上，并在無(wú)電場(chǎng)時(shí)間內(nèi)，恰好在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周。當(dāng)兩板間又周期性加上電壓時(shí)，粒子又重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖6所示。
 （2）粒子在極板間勻速運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：
 而做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
 所以，在兩板間運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為： 。
 說(shuō)明：在上述分析中，應(yīng)用了等效思維和形象思維：將粒子的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)等效為兩個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)；利用軌跡圖，形象、直觀地反映粒子在兩板間的運(yùn)動(dòng)及其所需時(shí)間。
 例5  如圖7所示，在寬的區(qū)域內(nèi)存在著互相垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，一電子從點(diǎn)垂直于電場(chǎng)、磁場(chǎng)方向射入時(shí)恰能做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)且從點(diǎn)射出，設(shè)電子以同樣的初速度從點(diǎn)射入時(shí)只撤去區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)，則電子從點(diǎn)射出，、相距，若電子以同樣的初速度從點(diǎn)射入時(shí)只撤去區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)，則粒子將從點(diǎn)射出，求：
 （1）電子從點(diǎn)射出前的軌道半徑；
 （2）比較電子從、、點(diǎn)射出時(shí)的動(dòng)能、和的大��；
 （3）間的距離。
 解析  （1）第1次電子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，有；第2次屬于電偏轉(zhuǎn)，電子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)（沿水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，沿豎直方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)），軌跡為拋物線(xiàn)，偏移距離；
 第三次屬于磁偏轉(zhuǎn)，電子在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡為圓弧，有。解以上三式可得，即
 （2）第1次電子做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能不變，第2次電場(chǎng)力對(duì)電子做正功，電子動(dòng)能增加；第3次洛倫茲力對(duì)電子不做功（只改變速度方向不改變速度大�。�，電子動(dòng)能不變，故＞＝。
 （3）第3次電子從點(diǎn)射出時(shí)，軌跡為圓弧示意圖如圖8所示，由幾何關(guān)系可得，解得。
 故間距
 說(shuō)明：對(duì)于有界勻強(qiáng)電場(chǎng)和有界磁場(chǎng)問(wèn)題，要特別注意電偏轉(zhuǎn)和磁偏轉(zhuǎn)的不同。
 例6  豎直平面里的平面直角坐標(biāo)系，軸與水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)方向相同，軸豎直向上，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于平面向里（如圖9所示），。一個(gè)質(zhì)量為，帶電量為的質(zhì)點(diǎn)，恰好在平面中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，試分析計(jì)算：
 （1）帶電質(zhì)點(diǎn)的速度大小和方向。
 （2）帶電質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中恰好通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，突然撤去磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間它從軸上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)，帶電質(zhì)點(diǎn)由到運(yùn)動(dòng)時(shí)間多長(zhǎng)？距離多大？
 解析  （1）帶電質(zhì)點(diǎn)在平面中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，受水平向右的電場(chǎng)力（）、豎直向下的重力（）和洛倫茲力（）作用；合力為零。電場(chǎng)力，重力；它們的合力（如圖10），與水平方向夾30°角，斜向下；洛倫茲力（）與大小相等、方向相反（），可知帶電質(zhì)點(diǎn)的速度大小為。速度方向與軸夾角為60°。
 （2）帶電質(zhì)點(diǎn)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，磁場(chǎng)撤消后帶電質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是水平方向（即方向）上初速度為，加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)與豎直方向（即方向）上初速度為的豎直上拋運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。由于A點(diǎn)與O點(diǎn)處在同一水平線(xiàn)上，所以由O到A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間由豎直方向上的運(yùn)動(dòng)決定：。
 之間的距離，即A點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)由水平方向上的運(yùn)動(dòng)決定：。
 加速度。代入上式得。
 撤消磁場(chǎng)后帶電質(zhì)點(diǎn)在重力和電場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11所示。
 答案：（1），方向與軸夾角為60°。
 （2），。
 點(diǎn)評(píng)：本題也可以轉(zhuǎn)換審題的視角，改變分析問(wèn)題的觀點(diǎn)，找出新的解題方法。
 在撤消磁場(chǎng)后，帶電質(zhì)點(diǎn)所受重力與電場(chǎng)力合力，與軸夾30°角斜向下。所以帶電質(zhì)點(diǎn)從O到A的運(yùn)動(dòng)也是一種“類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)”——跟軸夾60°角，的勻速運(yùn)動(dòng)。與F（合力）方向上（跟V垂直）加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，故處理問(wèn)題的方向可采用處理平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的方法。
 兩點(diǎn)建議：
 對(duì)復(fù)合場(chǎng)問(wèn)題，力的種類(lèi)較多，受力分析要全面，而核心之點(diǎn)在于，洛倫茲力隨著帶電體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變而發(fā)生變化，從而又導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生新的變化，因此分析力時(shí)往往要結(jié)合運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行。運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析是難點(diǎn)，一方面要正確分析受力，明白初始狀態(tài)。另一方面，要結(jié)合動(dòng)力學(xué)規(guī)律綜合分析。

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