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高等數(shù)學教學中的數(shù)學哲學思考論文
摘要：本文探討了數(shù)學和哲學之間的關系，數(shù)學對哲學的影響，以及當代數(shù)學哲學發(fā)展的困境，并指出了數(shù)學哲學發(fā)展的新途徑。
關鍵詞：數(shù)學；哲學；數(shù)學哲學
一、早期的數(shù)學家為什么都是哲學家？
在古希臘，哲學家都格外重視數(shù)學。最早的唯物主義哲學家泰勒斯，提出了原子唯物論的德謨克利特，最早的唯心主義哲學家畢達哥拉斯，都曾到埃及學習幾何。畢達哥拉斯學派認為世界的本源是數(shù)：“萬物皆數(shù)”，雖然這個看法現(xiàn)在看來可笑，但畢達哥拉斯學派是第一次抽象的處理數(shù)學概念的人，使得數(shù)學理論從大地測量、計算等活動中抽象出來，他們在研究中發(fā)現(xiàn)了畢達哥拉斯（九章算術稱勾股定理）定理。比畢達哥拉斯學派更廣為人知的是柏拉圖學院，該院學生以亞里士多德最為出名。這些學生大多是那個時代最出名的數(shù)學家、哲學家和天文學家。后來這許多學派和個人的工作，被歐幾里得總結在《幾何原本》中，在《幾何原本》中，歐幾里得從幾條公理出發(fā)，演繹了500多條希臘大師的定理、結論。
唯理論的兩位大家——笛卡爾和萊布尼茨正是兩位數(shù)學大家。勒奈·笛卡爾（1596～1650），偉大的哲學家、物理學家、數(shù)學家。人們在他的墓碑上刻下了這樣一句話：“為人類爭取并保證理性權利的第一人——笛卡爾�！�1628年，他從巴黎移居荷蘭，先后發(fā)表了許多在數(shù)學和哲學上有重大影響的論著：《論世界》（1634）、《行而上學的沉思》（1641）、《哲學原理》（1644）等。1637年，笛卡爾的《幾何學》，創(chuàng)立了直角坐標系，使幾何曲線與代數(shù)方程相結合。笛卡爾的變數(shù)是數(shù)學中的轉折點。變數(shù)使得運動走入數(shù)學，變數(shù)使得辨證法走數(shù)學，變數(shù)使得微分和積分也就立刻成為必要。笛卡爾的成就，為后來一大批數(shù)學家的新發(fā)現(xiàn)開辟了道路。
作為微積分的創(chuàng)始人之一的德國著名數(shù)學家、科學家、哲學家——萊布尼茨發(fā)明了微積分符號，一直沿用到今。著名的哲學家羅素、布勞威爾等也都研究數(shù)學，而著名的數(shù)學家希爾伯特也研究哲學，這樣的例子無法一一列舉。這些著名的學者都同時精通數(shù)學和哲學，一方面原因是因為早期的學科分類沒有像今天這樣分得如此詳細；另一方面也說明，數(shù)學和哲學有著不可分割的內在聯(lián)系。“沒有數(shù)學我們無法看穿哲學的深度，沒有哲學，人們也無法看穿數(shù)學的深度，而沒有這兩者，人們就什么也看不透�！钡履炙迹˙.Demofhns）這句格言深刻地表明了數(shù)學與哲學的深厚關系。自從有哲學以來，數(shù)學就成為哲學問題的一個重要來源，為哲學的思考與發(fā)展提供了豐富的實踐環(huán)境。
二、數(shù)學對哲學的影響
數(shù)學始終影響著哲學。
在數(shù)學的發(fā)展史上，有過三次“危機”。哲學家芝諾在公元前五世紀提出了幾個著名的悖論，加之無理數(shù)出現(xiàn)造成的危機，是第一次數(shù)學危機；初期微積分邏輯上有缺陷，圍繞微積分基礎展開了的論戰(zhàn)是第二次數(shù)學危機；哲學家羅素在集合論中發(fā)現(xiàn)的“羅素悖論”，動搖了把集合論作為整個數(shù)學的基礎的思想，這就是所謂的第三次數(shù)學危機。
第一次危機的結果建立了嚴格的實數(shù)理論。數(shù)學家回答了“什么是連續(xù)性”。第二次危機的結果建立了微積分的嚴密基礎極限理論。數(shù)學家回答了“運動是怎么回事”。第三次數(shù)學危機的結果產(chǎn)生了“數(shù)學基礎”這個至今尚在蓬勃發(fā)展的數(shù)學領域。
三、哲學對數(shù)學的影響
數(shù)學也受哲學的影響，但是不如數(shù)學對哲學的影響明顯。即使數(shù)學家本身是哲學家，他的數(shù)學活動并不一定打上哲學觀點的烙印，他的哲學觀點往往被后人否定，而數(shù)學成果卻與世長存。如康托爾，他認為無窮集是客觀存在的，表現(xiàn)出唯心主義傾向，不過這可能更加激發(fā)了他的研究熱情。他對實無窮的研究，最終得到線段上的點要多于自然數(shù)，解決了兩千多年哲學家們都沒有解決的問題。一些卓越的哲學家如亞里士多德、康德、萊布尼茨都堅持沒有實在的無窮，實際上認為人不可能認識實無窮，像自然數(shù)一樣。而康托爾的集合論，使數(shù)學思維進人了無窮的王國。
所以，我們可以這樣說：許多數(shù)學家是自覺的唯心主義與不自覺的唯物主義的結合。
四、當代數(shù)學哲學的思考
我們現(xiàn)在有一種思考是數(shù)學哲學需要向數(shù)學文化哲學的過渡。羅素的集合悖論造就了人們對數(shù)學的信任危機，但是仍然有大批的數(shù)學家，諸如懷特海、希爾伯特等人一直在尋求一種新的基礎，來挽救這種信任危機。也正是由于這種危機促使了數(shù)學哲學推向了一個新的階段。在不斷的研究過程中，相繼出現(xiàn)了邏輯主義、直覺主義、形式主義。但是，隨著更多的數(shù)學家加入這場討論大戰(zhàn)，比如哥德爾證明的不完全定理，使得我們對形式主義和直覺主義產(chǎn)生了懷疑并逐步放棄了形式主義和直覺主義。產(chǎn)生的后果是數(shù)學界只研究純粹的數(shù)學，哲學問題逐步淡出了數(shù)學家的視線，而且他們發(fā)現(xiàn)這種缺失的哲學并沒有對數(shù)學研究產(chǎn)生不好的影響。后來的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)數(shù)學比以前更快的速度飛速發(fā)展。這樣的結果就是不光許多以前對數(shù)學哲學感興趣的數(shù)學大師如馮·諾伊曼、外爾等以及一些新成長起來的數(shù)學家都很少涉足數(shù)學哲學。曾經(jīng)有數(shù)學家就認為數(shù)學哲學家討論的是“前天的數(shù)學”而不是“今天的數(shù)學”。
五、數(shù)學哲學的新啟示
數(shù)學和哲學的關系究竟怎樣處理？如何是數(shù)學和哲學更加和諧的相處呢？
傳統(tǒng)數(shù)學哲學由于缺乏必要的學科定位，而且數(shù)學知識的框架也存在缺陷，使得數(shù)學和哲學的聯(lián)系道路越走越遠，使得我們無法面對數(shù)學文化和哲學文化具有的更深層次的不協(xié)調問題。
隨后的數(shù)學家從數(shù)學文化哲學的角度進行研究，為我們提供了一個新的角度，他們注重研究數(shù)學活動本身的內在聯(lián)系的外部機制的關系。美國數(shù)學家威爾德的兩部著作《數(shù)學概念演化的初步研究》和《數(shù)學，一種文化體系》就是從這一角度研究數(shù)學文化的。他在書中所提到的觀點受到大部分數(shù)學界人士的贊同，認為威爾德提及的數(shù)學需要作為一種文化體系進行研究的觀點，是第一個比較成熟的數(shù)學哲學觀。
作為普通民眾，由于缺乏必要的數(shù)學素養(yǎng)，他們對數(shù)學存在質疑；這種情況的出現(xiàn)使得數(shù)學文化哲學進一步引起了數(shù)學家的關注。從純粹的數(shù)學知識體系來看，數(shù)學有著脫離社會并遠離哲學文化的危險，這樣的結果就是會導致孤立主義的傾向。而且這種孤立主義使普通民眾產(chǎn)生一種錯誤地感覺，那就是他們認為數(shù)學只是少數(shù)數(shù)學天才的事情，是他們自己腦子里想象出來的創(chuàng)造物，社會的發(fā)展和進步和數(shù)學的發(fā)展是沒有關系的，而且數(shù)學的真理性無須社會的實踐來檢驗。隨著純粹的數(shù)學知識體系內的各個領域的劃分越來越細致，導致的結果就是不同數(shù)學分支的數(shù)學家們沒有辦法進行必要的交流，統(tǒng)攬數(shù)學全局的大家已經(jīng)很久沒有出現(xiàn)了。數(shù)學就象失去方向盤的汽車，不知將奔向何處。
從數(shù)學知識體系所處的外部環(huán)境，也就是數(shù)學與社會文化的關系來看，也出現(xiàn)了不協(xié)調的情況。從古典數(shù)學分析演變到近代數(shù)學分析，數(shù)學越來越嚴密化，使得數(shù)學出現(xiàn)了嚴密的推導過程，而且這樣具有嚴格邏輯的推導備受數(shù)學界崇尚，直接后果就是他們不管數(shù)學的結果是否有用，對現(xiàn)實世界及其他學科是否有意義。英國數(shù)學家哈代在代表作《一個數(shù)學家的辯白》中就宣稱：“我從未做過有用的事，在我的發(fā)現(xiàn)中，從未有過或可能有過，直接或間接地、好的或不好的，對現(xiàn)實世界稍微有益的東西�！�
數(shù)學內部和外部共同作用的結果就是使得數(shù)學界出現(xiàn)了孤立主義傾向，大部分數(shù)學家其孤芳自賞，并且拒人于千里之外，普通民眾更加的不理解數(shù)學，對數(shù)學望而生畏，更不用說理解數(shù)學了。
但是不可否認的是數(shù)學是社會發(fā)展，尤其是科學技術發(fā)展的基礎和工具，孤立于人類文化使得我們失去了原動力。這種原動力是推動社會進步和人類思想解放的基本，失去它將使得社會的發(fā)展變?yōu)闊o源之水。以哲學的眼光來考察和監(jiān)督數(shù)學的發(fā)展，把把數(shù)學放在數(shù)學文化哲學的大背景下，力圖將人類文化融入數(shù)學，讓我們意識到到數(shù)學是為社會服務的。數(shù)學文化哲學的研究或許是人類真正理解數(shù)學的一把鑰匙。從數(shù)學哲學走向數(shù)學文化哲學，讓我們認識數(shù)學的本來面目，推動數(shù)學哲學進一步向前發(fā)展。
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